Resolución de la Integral de la Raíz de Tangente de x

Una guía analítica completa para resolver la integral \( \int \sqrt{\tan(x)} \, dx \), una de las integrales indefinidas más elegantes y no triviales del cálculo. Se desglosa cada paso, desde la sustitución inicial hasta la descomposición algebraica avanzada.
— Con demostración rigurosa separada y análisis de la estrategia.

Introducción y Motivación

La integral de la raíz cuadrada de la tangente de x, denotada como \( \int \sqrt{\tan(x)} \, dx \), es un problema clásico en el cálculo integral. A primera vista, su integrando parece simple, pero su solución no es inmediata y no puede obtenerse con métodos elementales de sustitución o integración por partes. Resolverla requiere una secuencia de pasos ingeniosos que combinan sustituciones trigonométricas, manipulación algebraica y la descomposición de funciones racionales. Esta lección te guiará a través de este fascinante proceso, demostrando cómo técnicas avanzadas se combinan para desvelar una solución estructurada y elegante. Es un excelente ejercicio para consolidar la comprensión profunda del cálculo.

Mapa Conceptual Mínimo

Para abordar esta integral, necesitamos dominar los siguientes conceptos clave:

Cambio de Variable (Sustitución): Técnica fundamental para transformar una integral compleja en una más manejable.
Identidades Trigonométricas: Específicamente, la relación pitagórica fundamental \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \).
Integración de Funciones Racionales: El método para integrar cocientes de polinomios. En este caso, usaremos una técnica especial para el denominador \( u^4 + 1 \).
Fórmulas de Integración Estándar: Las antiderivadas que resultan en funciones de arco tangente y logaritmo natural.

Definición. El problema consiste en encontrar la familia de funciones \( F(x) \) tal que su derivada \( F'(x) \) sea igual a \( \sqrt{\tan(x)} \). Matemáticamente, buscamos resolver la integral indefinida:

\[ I = \int \sqrt{\tan(x)} \, dx \]

El dominio de integración está restringido a los intervalos donde \( \tan(x) \ge 0 \), es decir, en \( \left[k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}\right) \) para cualquier entero \( k \).

Heurística → Formal

Solución de la Integral Indefinida de \( \sqrt{\tan(x)} \)

Teorema. La integral de la raíz cuadrada de la tangente de x está dada por la siguiente expresión:

\[ \int \sqrt{\tan(x)} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\sqrt{\tan(x)} – \frac{1}{\sqrt{\tan(x)}}}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\tan(x) – \sqrt{2\tan(x)} + 1}{\tan(x) + \sqrt{2\tan(x)} + 1}\right| + C \]

Esta fórmula se puede reescribir de forma más compacta como:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\tan(x) – \sqrt{2\tan(x)} + 1}{\tan(x) + \sqrt{2\tan(x)} + 1}\right| + \arctan\left(\frac{\sqrt{2\tan(x)}}{\tan(x)-1}\right) \right] + C \]

Análisis preliminar (borrador)

La estrategia principal es eliminar la raíz cuadrada para poder trabajar con una función más manejable. Esto sugiere una sustitución directa.

Sustitución inicial: Proponemos un cambio de variable que simplifique el integrando. La elección natural es \( u = \sqrt{\tan(x)} \).
Transformación a función racional: Al realizar la sustitución, nuestro objetivo es convertir la integral trigonométrica en una integral de una función racional (un cociente de polinomios) en la variable \( u \).
Si \( u = \sqrt{\tan(x)} \), entonces \( u^2 = \tan(x) \). Para encontrar \( dx \), diferenciamos esta última expresión: \[ 2u \, du = \sec^2(x) \, dx \] Necesitamos expresar \( dx \) únicamente en términos de \( u \). Usamos la identidad \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \). Como \( \tan(x) = u^2 \), entonces \( \tan^2(x) = (u^2)^2 = u^4 \). Por lo tanto, \( \sec^2(x) = 1 + u^4 \). Sustituyendo esto en la diferencial: \[ 2u \, du = (1 + u^4) \, dx \implies dx = \frac{2u}{1 + u^4} \, du \]
Planteamiento de la nueva integral: Reemplazamos \( \sqrt{\tan(x)} \) por \( u \) y \( dx \) por su expresión equivalente. La integral se transforma en: \[ I = \int u \cdot \left( \frac{2u}{1 + u^4} \right) \, du = \int \frac{2u^2}{u^4 + 1} \, du \] Ahora el problema se reduce a resolver esta integral racional, que aunque parece más limpia, requiere una manipulación algebraica específica y no estándar.

Demostración. Partimos de la integral transformada obtenida en el análisis preliminar: \[ I = \int \frac{2u^2}{u^4 + 1} \, du \] El truco clave aquí es descomponer el numerador \( 2u^2 \) de una forma astuta: \( 2u^2 = (u^2 + 1) + (u^2 – 1) \). Esto nos permite separar la integral en dos partes que podremos resolver: \[ I = \int \frac{(u^2 + 1) + (u^2 – 1)}{u^4 + 1} \, du = \int \frac{u^2 + 1}{u^4 + 1} \, du + \int \frac{u^2 – 1}{u^4 + 1} \, du \] Llamaremos a estas integrales \( I_1 \) e \( I_2 \) y las resolveremos por separado.

Paso 1: Resolución de \( I_1 \). \[ I_1 = \int \frac{u^2 + 1}{u^4 + 1} \, du \] Dividimos el numerador y el denominador por \( u^2 \) (asumiendo \( u \neq 0 \)): \[ I_1 = \int \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{u^2 + \frac{1}{u^2}} \, du \] El denominador puede reescribirse completando el cuadrado. Notamos que \( (u – \frac{1}{u})^2 = u^2 – 2 + \frac{1}{u^2} \), de donde \( u^2 + \frac{1}{u^2} = (u – \frac{1}{u})^2 + 2 \). Ahora hacemos una segunda sustitución. Sea \( v = u – \frac{1}{u} \). Su diferencial es \( dv = (1 + \frac{1}{u^2}) \, du \), que es exactamente nuestro numerador. La integral se convierte en: \[ I_1 = \int \frac{dv}{v^2 + 2} = \int \frac{dv}{v^2 + (\sqrt{2})^2} \] Esta es una integral de tipo arco tangente estándar, \( \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) \). Con \( a=\sqrt{2} \): \[ I_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) \] Deshaciendo la sustitución \( v = u – \frac{1}{u} = \frac{u^2-1}{u} \): \[ I_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u^2 – 1}{\sqrt{2}u}\right) \]

Paso 2: Resolución de \( I_2 \). \[ I_2 = \int \frac{u^2 – 1}{u^4 + 1} \, du \] Aplicamos la misma técnica: dividimos numerador y denominador por \( u^2 \): \[ I_2 = \int \frac{1 – \frac{1}{u^2}}{u^2 + \frac{1}{u^2}} \, du \] Esta vez, notamos que el numerador es la derivada de \( u + \frac{1}{u} \). Reescribimos el denominador basándonos en \( (u + \frac{1}{u})^2 = u^2 + 2 + \frac{1}{u^2} \), de donde \( u^2 + \frac{1}{u^2} = (u + \frac{1}{u})^2 – 2 \). Hacemos una tercera sustitución. Sea \( w = u + \frac{1}{u} \). Su diferencial es \( dw = (1 – \frac{1}{u^2}) \, du \), que es el numerador. La integral se transforma en: \[ I_2 = \int \frac{dw}{w^2 – 2} = \int \frac{dw}{w^2 – (\sqrt{2})^2} \] Esta es una integral de tipo logaritmo, \( \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| \). Con \( a=\sqrt{2} \): \[ I_2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{w – \sqrt{2}}{w + \sqrt{2}}\right| \] Deshaciendo la sustitución \( w = u + \frac{1}{u} = \frac{u^2+1}{u} \): \[ I_2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\frac{u^2+1}{u} – \sqrt{2}}{\frac{u^2+1}{u} + \sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{u^2 – \sqrt{2}u + 1}{u^2 + \sqrt{2}u + 1}\right| \]

Paso 3: Unión de resultados y sustitución final. La integral original es la suma de \( I_1 \) e \( I_2 \): \[ I = I_1 + I_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u^2 – 1}{\sqrt{2}u}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{u^2 – \sqrt{2}u + 1}{u^2 + \sqrt{2}u + 1}\right| + C \] Finalmente, revertimos la sustitución original \( u = \sqrt{\tan(x)} \), por lo que \( u^2 = \tan(x) \). \[ \int \sqrt{\tan(x)} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan(x) – 1}{\sqrt{2\tan(x)}}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\tan(x) – \sqrt{2\tan(x)} + 1}{\tan(x) + \sqrt{2\tan(x)} + 1}\right| + C \] Por lo tanto, el resultado del teorema queda demostrado.

Receta de Procedimiento

Para resolver la integral \( \int \sqrt{\tan(x)} \, dx \), sigue estos pasos metodológicos:

Paso 1: Sustitución Principal. Define \( u = \sqrt{\tan(x)} \) y calcula el diferencial \( dx \) en términos de \( u \), obteniendo \( dx = \frac{2u}{1+u^4} du \). Transforma la integral a \( \int \frac{2u^2}{u^4+1} du \).
Paso 2: Descomposición Algebraica. Separa el numerador \( 2u^2 \) como \( (u^2+1) + (u^2-1) \) para dividir la integral en dos sumandos.
Paso 3: Técnica de División. Para cada una de las dos nuevas integrales, divide numerador y denominador entre \( u^2 \).
Paso 4: Sustituciones Secundarias. Introduce las variables auxiliares \( v = u – 1/u \) para la primera integral y \( w = u + 1/u \) para la segunda, transformándolas en integrales inmediatas.
Paso 5: Integración. Resuelve las integrales resultantes, que serán de la forma arco tangente y logaritmo natural.
Paso 6: Reversión de Sustituciones. Deshaz secuencialmente todas las sustituciones (\( v, w \) y finalmente \( u \)) para expresar el resultado final en términos de la variable original \( x \). No olvides añadir la constante de integración \( C \).

Discusión del Resultado

Ejemplo 1 (Conceptual): Verificación del Dominio

Ejemplo. Analicemos la consistencia del resultado con el dominio del integrando original \( \sqrt{\tan(x)} \).

El integrando requiere \( \tan(x) \geq 0 \). Esto ocurre en los intervalos \( [k\pi, k\pi + \pi/2) \) para \( k \in \mathbb{Z} \).
Los términos dentro del logaritmo en la solución, \( P(u) = u^2 \pm \sqrt{2}u + 1 \), son siempre positivos. Su discriminante es \( \Delta = (\pm\sqrt{2})^2 – 4(1)(1) = 2 – 4 = -2 < 0 \). Al ser parábolas que abren hacia arriba y no tener raíces reales, su valor es siempre positivo. Esto asegura que el argumento del logaritmo es siempre positivo, y el valor absoluto puede omitirse.
Los denominadores en los argumentos de la solución contienen \( \sqrt{\tan(x)} \), lo cual es consistente con el dominio original. El único punto problemático podría ser donde el denominador es cero, pero esto ya está excluido del dominio de la tangente.

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Errores Frecuentes

Al resolver esta integral, es común cometer los siguientes errores:

Olvidar el factor \( 2u \) al calcular el diferencial \( dx \).
Confundir las sustituciones secundarias: usar \( v = u+1/u \) donde corresponde \( v = u-1/u \) y viceversa.
Cometer errores algebraicos al completar el cuadrado para los denominadores de \( I_1 \) e \( I_2 \).
Olvidar la constante de integración \( C \) en la respuesta final.

Mini-Ejercicios Propuestos

Resolver la integral \( \int \sqrt{\cot(x)} \, dx \). (Pista: la estrategia es casi idéntica).
Resolver la integral \( \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx \). (Pista: ya has resuelto una parte de este problema en la demostración).
Demostrar que los polinomios \( t^2 – \sqrt{2}t + 1 \) y \( t^2 + \sqrt{2}t + 1 \) son siempre positivos.

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Solución 1: \( \int \sqrt{\cot(x)} \, dx \)

Usando la sustitución \( u = \sqrt{\cot(x)} \), la integral se transforma en \( – \int \frac{2u^2}{u^4+1} du \). El resultado es el negativo de la integral de esta lección, pero sustituyendo \( u = \sqrt{\cot(x)} \).

\[ – \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\cot(x) – 1}{\sqrt{2\cot(x)}}\right) – \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\cot(x) – \sqrt{2\cot(x)} + 1}{\cot(x) + \sqrt{2\cot(x)} + 1}\right| + C \]

Solución 2: \( \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx \)

Se descompone el numerador como \( 1 = \frac{1}{2}[(x^2+1) – (x^2-1)] \) y se procede de manera análoga a la demostración, resultando en: \[ \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \ln\left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right| + 2\arctan(\sqrt{2}x+1) + 2\arctan(\sqrt{2}x-1) \right) + C \]

Solución 3: Positividad de los polinomios

Para un polinomio cuadrático \( at^2+bt+c \), su signo es constante si no tiene raíces reales. Esto ocurre si su discriminante \( \Delta = b^2-4ac \) es negativo. Para \( t^2 \pm \sqrt{2}t + 1 \), tenemos \( a=1, b=\pm\sqrt{2}, c=1 \). \[ \Delta = (\pm\sqrt{2})^2 – 4(1)(1) = 2 – 4 = -2 \] Como \( \Delta < 0 \) y el coeficiente principal \( a=1 \) es positivo, ambos polinomios son estrictamente positivos para todo \( t \in \mathbb{R} \).

Fórmulas de Referencia

Concepto	Fórmula	Aplicación en el Problema
Sustitución Principal	\(u = \sqrt{\tan(x)}\)	Transforma la integral trigonométrica a racional.
Identidad Trigonométrica	\(\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\)	Permite calcular el diferencial \( dx \).
Integral Arco Tangente	\(\int \frac{dz}{z^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{z}{a}\right)\)	Resuelve la primera parte de la integral descompuesta (\( I_1 \)).
Integral Logarítmica	\(\int \frac{dz}{z^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left\|\frac{z-a}{z+a}\right\|\)	Resuelve la segunda parte de la integral descompuesta (\( I_2 \)).

Conclusión

La resolución de \( \int \sqrt{\tan(x)} \, dx \) es un viaje a través de múltiples técnicas del cálculo integral. Demuestra que no todas las integrales se rinden a métodos directos. La solución requiere creatividad para encontrar la sustitución correcta, rigor algebraico para manipular la expresión resultante y conocimiento de formas integrales avanzadas. Este problema no solo refuerza habilidades técnicas, sino que también cultiva la paciencia y la perspectiva estratégica necesarias para enfrentar desafíos matemáticos complejos, conectando la trigonometría con el análisis de funciones racionales de una manera profunda y satisfactoria.