La Definición Formal de Límite: Épsilon-Delta

Intuitivamente, decimos que el límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(c\) es \(L\) si podemos hacer que \(f(x)\) esté tan cerca de \(L\) como queramos, simplemente eligiendo una \(x\) suficientemente cerca de \(c\). Sin embargo, en matemáticas, la precisión es fundamental. La definición Épsilon-Delta (\(\epsilon-\delta\)) formaliza esta idea, eliminando cualquier ambigüedad.

La esencia de esta definición es un desafío: sin importar qué tan pequeña sea la “tolerancia de error” (\(\epsilon\)) que alguien exija para la salida de la función, siempre debemos ser capaces de encontrar una “tolerancia de proximidad” (\(\delta\)) para la entrada que garantice que no nos saldremos de ese error.

La Definición Precisa

Comencemos con el enunciado formal, que es el pilar de todo el análisis matemático. Puede parecer intimidante al principio, pero desglosaremos cada parte para que cobre sentido.

Definición. Sea \(f\) una función definida en un intervalo abierto que contiene a \(c\) (excepto posiblemente en \(c\)) y sea \(L\) un número real. Se dice que el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(c\) es \(L\), y se escribe:

\[ \lim_{x \to c} f(x) = L \]

si para todo número \(\epsilon > 0\), existe un número \(\delta > 0\) tal que si \(0 < |x - c| < \delta\), entonces \(|f(x) - L| < \epsilon\).

Analicemos las piezas clave:

Para todo \(\epsilon > 0\): Esto representa el “desafío”. \(\epsilon\) (épsilon) es la tolerancia de error en el eje vertical (la salida). Puede ser cualquier número positivo, por pequeño que sea.
Existe un \(\delta > 0\): Esta es nuestra “respuesta”. \(\delta\) (delta) es la tolerancia en el eje horizontal (la entrada) que debemos encontrar.
Si \(0 < |x - c| < \delta\): Esta condición asegura dos cosas. \(|x – c| < \delta\) significa que la distancia de \(x\) a \(c\) es menor que nuestra tolerancia \(\delta\). El \(0 < |x - c|\) simplemente significa que \(x \neq c\), ya que el valor del límite no depende de lo que ocurre exactamente en \(c\).
Entonces \(|f(x) – L| < \epsilon\): Esta es la garantía. Si nuestra \(x\) cumple la condición anterior, la distancia entre el valor de la función \(f(x)\) y el límite \(L\) será menor que la tolerancia de error \(\epsilon\) exigida.

Estrategia para la Demostración

Para demostrar que un límite es correcto usando la definición, seguimos un proceso de dos fases. Primero, un trabajo en borrador para encontrar una relación entre \(\delta\) y \(\epsilon\), y luego la demostración formal y rigurosa.

Fase 1: Análisis Preliminar (Borrador)

El objetivo es encontrar un \(\delta\) que funcione. Para ello, comenzamos con la conclusión que queremos alcanzar y trabajamos hacia atrás.

Empezamos con la desigualdad \(|f(x) – L| < \epsilon\).
Manipulamos algebraicamente esta expresión para aislar un término de la forma \(|x – c|\).
El objetivo es llegar a una expresión como \(|x – c| < g(\epsilon)\), donde \(g(\epsilon)\) es alguna función de \(\epsilon\). Esto nos sugiere que podemos elegir \(\delta = g(\epsilon)\).

Fase 2: Demostración Formal

Una vez que tenemos nuestro candidato para \(\delta\), construimos el argumento lógico en la dirección correcta.

Sea \(\epsilon > 0\) un número arbitrario.
Elegimos nuestro \(\delta\) en función de \(\epsilon\) (el que encontramos en la fase 1).
Suponemos que un \(x\) cumple \(0 < |x - c| < \delta\).
A partir de esta suposición, y usando nuestra elección de \(\delta\), desarrollamos una cadena de implicaciones lógicas para demostrar que, necesariamente, se cumple \(|f(x) – L| < \epsilon\).

Aplicando la Definición: Un Teorema Fundamental

La mejor manera de entender el proceso es con un ejemplo concreto. Demostremos el límite de una función lineal, que es uno de los casos más ilustrativos y fundamentales.

Teorema. Demostrar que \( \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7 \).

Demostración.

1. Análisis Preliminar (Borrador):

Queremos encontrar un \(\delta\) tal que si \(0 < |x - 2| < \delta\), entonces \(|(3x+1) - 7| < \epsilon\). Partimos de la segunda desigualdad:

\[ \begin{aligned} |(3x + 1) – 7| &< \epsilon \\ |3x - 6| &< \epsilon \\ |3(x - 2)| &< \epsilon \\ 3|x - 2| &< \epsilon \\ |x - 2| &< \frac{\epsilon}{3} \end{aligned} \]

Esta última línea nos dice que si la distancia \(|x-2|\) es menor que \(\epsilon/3\), entonces la condición sobre \(f(x)\) se cumplirá. Esto nos da el candidato perfecto para nuestro \(\delta\).

2. Demostración Formal:

Sea \(\epsilon > 0\) dado. Elegimos \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\). Por definición de \(\delta\), sabemos que \(\delta > 0\).

Ahora, supongamos que \(x\) es un número tal que \(0 < |x - 2| < \delta\). Queremos demostrar que esto implica \(|(3x+1) - 7| < \epsilon\). Procedemos:

\[ \begin{aligned} |x – 2| &< \delta && \text{(Nuestra suposición)} \\ |x - 2| &< \frac{\epsilon}{3} && \text{(Sustituyendo nuestra elección de \(\delta\))} \\ 3|x - 2| &< \epsilon && \text{(Multiplicando por 3)} \\ |3(x - 2)| &< \epsilon && \text{(Propiedad del valor absoluto)} \\ |3x - 6| &< \epsilon && \text{(Distribuyendo)} \\ |(3x + 1) - 7| &< \epsilon && \text{(Reescribiendo la expresión)} \end{aligned} \]

Hemos demostrado que para cualquier \(\epsilon > 0\), podemos encontrar un \(\delta\) (en este caso, \(\delta = \epsilon/3\)) que satisface la definición. Por lo tanto, el límite es correcto. ∎

Observación. El trabajo en borrador es crucial. La definición no nos dice cómo encontrar \(\delta\), solo que existe. El análisis preliminar es nuestra herramienta de descubrimiento. La demostración formal es la verificación rigurosa de que nuestro descubrimiento es correcto. Nunca se debe incluir el análisis preliminar como parte de la demostración formal final; es el trabajo que hacemos “detrás de cámaras”.

Corolario. El método anterior se puede generalizar. Para cualquier función lineal \(f(x) = mx + b\) con \(m \neq 0\), se cumple que:

\[ \lim_{x \to c} (mx + b) = mc + b \]

La demostración sigue los mismos pasos, y nos llevaría a elegir \(\delta = \frac{\epsilon}{|m|}\).

Conclusión

La definición Épsilon-Delta es el lenguaje preciso del cálculo. Transforma la noción intuitiva de “acercarse” en un mecanismo riguroso de control de errores. Al dominar la estrategia de encontrar un \(\delta\) para cualquier \(\epsilon\) dado, no solo se aprende a resolver un tipo de problema, sino que se comprende la lógica fundamental sobre la que se construyen todos los teoremas de límites, derivadas e integrales. Es un paso de la matemática descriptiva a la matemática demostrativa y analítica.